广西师范大学学报（自然科学版） ›› 2022, Vol. 40 ›› Issue (2): 116-124.doi: 10.16088/j.issn.1001-6600.2021052401

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一类非线性p-Laplace方程的Liouville定理

蒋群群, 王林峰*   

  1. 南通大学 理学院,江苏 南通 226019
  • 收稿日期:2021-05-24 修回日期:2021-07-08 发布日期:2022-05-31
  • 通讯作者: 王林峰(1973—),男,江苏南通人,南通大学教授,博士。E-mail:wlf711178@ntu.edu.cn
  • 基金资助:
    国家自然科学基金(11771223)

Liouville Theorems for a Nonlinear p-Laplace Equation

JIANG Qunqun, WANG Linfeng*   

  1. School of Sciences, Nantong University, Nantong Jiangsu 226019, China
  • Received:2021-05-24 Revised:2021-07-08 Published:2022-05-31

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349

摘要： 在带有适当曲率条件的完备流形上研究非线性p-Laplace方程Δpu+aup-1 ln u+λup-1=0, 式中a、 λ和p>1为给定常数。通过考虑几何量沿p-Laplace方程的演化, 在Ricci曲率有下界的紧致流形上建立上述方程的微分不等式。借助截断函数及Hessian比较定理, 在截面曲率有下界的非紧流形上也建立类似不等式。作为应用得到了Liouville定理。

关键词: 微分不等式, 非线性, p-Laplace方程, Liouville定理, Ricci孤立子

Abstract: In this paper the nonlinear p-Laplace equation Δpu+aup-1lnu+λup-1=0 is studied on complete manifolds with some suitable curvature condition, where a, λ and p>1 are some given constants. Differential inequalities for the p-Laplace equation on compact manifolds with Ricci curvature bounded from below are established, based on the evolution of the geometric quantity along the p-Laplace equation. Similar inequalities can also be established on a noncompact manifold whose sectional curvature is bounded from below, based on the skills of cut off function and the Hessian comparison theorem. As an application, Liouville theorems are obtained.

Key words: differential inequality, nonlinear, p-Laplace equation, Liouville theorem, Ricci soliton

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[1] LI P, WANG J P. Complete manifolds with positive spectrum, II[J]. Journal of Differential Geometry, 2002, 62: 143-162.
[2] LI P. Geometric analysis[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2012.
[3] YAU S T. Harmonic functions on complete Riemannian manifolds[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1975, 28(2): 201-228.
[4] WANG L F. The upper bound of the L2μ spectrum[J]. Annals of Global Analysis and Geometry, 2010, 37(4) : 393-402.
[5] MA L. Gradient estimates for a simple elliptic equation on complete non-compact Riemannian manifolds[J]. Journal of Functional Analysis, 2006, 241(1): 374-382.
[6] PERELMAN G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications[EB/OL]. (2002-11-11)[2021-05-24]. https://arxiv.org/abs/math/0211159.
[7] ROTHAUS S. Logarithmic Sobolev inequalities and the spectrum of Schrödinger operators[J]. Journal of Functional Analysis, 1981, 42(1): 110-120.
[8] NI L. The entropy formula for linear heat equation[J]. Journal of Geometric Analysis, 2004, 14(1): 87-100.
[9] WANG L F. A new entropy formula for the linear heat equation[J]. Archiv der Mathematik, 2011, 96(5): 473-481.
[10] KOTSCHWAR B, NI L. Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula[J]. Annales Scientifiques de l′École Normale Supérieure, 2009, 42(1): 1-36.
[11] WANG L F, ZHU Y P. A sharp gradient estimate for the weighted p-Laplacian[J]. Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, 2012, 27(4): 462-474.
[12] 周俞洁, 张泽宇, 王林峰. 黎曼流形上p-Laplace算子的Liouville定理[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2017, 39(10): 62-68.
[13] 魏公明. 具奇系数发展型p-Laplace不等方程整体解的不存在性[J]. 数学年刊A辑, 2007, 28(3): 387-394.
[14] 汪悦. Riemann流形上改进的p-Laplace方程的梯度估计[J]. 中国科学(数学), 2014, 44(3): 288-294.
[15] 王林峰. p-Laplace Schrödinger 热方程的椭圆型梯度估计[J]. 数学学报, 2010, 53(4): 643-654.
[16] TOLKSDORF P. Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations[J]. Journal of Differential Equations, 1984, 51(1): 126-150.
[17] WANG L F. Gradient estimates on the weighted p-Laplace heat equation[J]. Journal of Differential Equations, 2018, 264(1): 506-524.
[18] SCHEON R, YAU S T. Lectures on differential geometry[M]. Cambridge, MA: International Press, 1994.
[1] 张治飞, 段谦, 刘乃嘉, 黄磊. 基于Jackknife互信息的高维非线性回归模型研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2022, 40(1): 43-56.
[2] 逯苗, 何登旭, 曲良东. 非线性参数的精英学习灰狼优化算法[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 55-67.
[3] 兰海峰, 肖飞雁, 张根根, 朱瑞. 非线性偏积分微分方程紧隐显BDF方法的误差分析[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2020, 38(4): 82-91.
[4] 何东平,黄文韬,王勤龙. 二元机翼系统的极限环颤振与混沌运动[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2019, 37(3): 87-95.
[5] 邢伟, 高晋芳, 颜七笙, 周其华. 具有非线性传染率及脉冲免疫接种的SIQR传染病模型[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2017, 35(2): 58-65.
[6] 闫恒庄, 陈军, 汪飞, 周建江. 基于短时分数阶傅里叶变换的非线性调频类信号检测[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2015, 33(4): 30-37.
[7] 廖志贤, 罗晓曙, 黄国现. 光伏并网逆变器的非线性动力学研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2013, 31(4): 1-6.
[8] 蒋朝龙, 罗婷, 孙建强. 五阶饱和非线性薛定谔方程的多辛方法[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2013, 31(4): 71-77.
[9] 周长会, 吴启勋, 侯庆高. 一种研究脂肪胺QSPR的拓扑方法[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2013, 31(4): 93-97.
[10] 彭再云, 孔祥茜. 强G-半预不变凸性与非线性规划问题[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2013, 31(1): 48-53.
[11] 周长会, 吴启勋, 侯庆高, 高宴梓, 李洪囡, 张瑞. 拓扑指数在脂肪醛、脂肪胺及脂肪烃沸点中的应用[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2013, 31(1): 82-87.
[12] 郝平平, 冯春华. 一类具有非线性物种密度制约死亡率的Nicholson模型解的性态[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2012, 30(2): 42-47.
[13] 高俊芬, 胡维平. 基于非线性动力学和GMM的病态嗓音识别与研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2011, 29(3): 5-8.
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[1] 胡锦铭, 韦笃取. 不同阶次分数阶永磁同步电机的混合投影同步[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 1 -8 .
[2] 武康康, 周鹏, 陆叶, 蒋丹, 闫江鸿, 钱正成, 龚闯. 基于小批量梯度下降法的FIR滤波器[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 9 -20 .
[3] 刘东, 周莉, 郑晓亮. 基于SA-DBN的超短期电力负荷预测[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 21 -33 .
[4] 张伟彬, 吴军, 易见兵. 基于RFB网络的特征融合管制物品检测算法研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 34 -46 .
[5] 王金艳, 胡春, 高健. 一种面向知识编译的OBDD构造方法[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 47 -54 .
[6] 逯苗, 何登旭, 曲良东. 非线性参数的精英学习灰狼优化算法[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 55 -67 .
[7] 李莉丽, 张兴发, 李元, 邓春亮. 基于高频数据的日频GARCH模型估计[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 68 -78 .
[8] 李松涛, 李群宏, 张文. 三自由度碰撞振动系统的余维二擦边分岔与混沌控制[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 79 -92 .
[9] 赵红涛, 刘志伟. λ重完全二部3-一致超图λK(3)n,n分解为超图双三角锥[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 93 -98 .
[10] 李梦, 曹庆先 , 胡宝清. 1960—2018年广西大陆海岸线时空变迁分析[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2021, 39(4): 99 -108 .
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