广西师范大学学报（自然科学版） ›› 2026, Vol. 44 ›› Issue (1): 102-109.doi: 10.16088/j.issn.1001-6600.2025012401

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一类三维系统高阶奇点退化Hopf分岔的环性

姚洁, 王勤龙*   

  1. 桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林 541004
  • 收稿日期:2025-01-24 修回日期:2025-03-14 出版日期:2026-01-05 发布日期:2026-01-26
  • 通讯作者: 王勤龙(1971—),男,湖北荆州人,桂林电子科技大学教授,博士。 E-mail: wqinlong@163.com
  • 基金资助:
    国家自然科学基金(12161023); 广西自然科学基金(2025GXNSFAA069254);广西应用数学中心(广西师范大学)开放基金(CAMG2022A01);桂林电子科技大学研究生创新基金(2025YCXS125)

Cyclicity of High-order Singular Point Degenerate Hopf Bifurcation for a Class of Three-dimensional Systems

YAO Jie, WANG Qinlong*   

  1. School of Mathematics and Computing Science, Guilin University of Electronic Technology, Guilin Guangxi 541004, China
  • Received:2025-01-24 Revised:2025-03-14 Online:2026-01-05 Published:2026-01-26

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摘要： 本文研究一类三维系统在高阶奇点处发生的退化Hopf分岔。基于中心流形定理,给出一种直接计算奇点量的形式级数方法,避免将原三维系统转化为平面约化方程的繁琐过程,该算法对应的线性递推公式易于执行。具体研究一类四次系统,解决其高阶奇点的中心与退化Hopf分岔环性问题。

关键词: 高阶奇点, 退化Hopf环性, 中心问题, 奇点量

Abstract: In this paper, the degenerate Hopf bifurcation is investigated at high-order singular point in a class of three-dimensional systems. Based on the center manifold theorem, a formal series method for directly calculating singularity quantities is proposed, which avoids the tedious process of converting the original three-dimensional system into the plane reduction equations. The corresponding linear recursive formula of this algorithm is easy to execute. A class of fourth-order system is specifically studied, its center problem of high-order singular points is solved and the cyclicity of degenerate Hopf bifurcation is determined.

Key words: higher-order singularity, degenerate Hopf cyclicity, center problem, singular point quantities

中图分类号:  O175.1

[1] 张芷芬, 丁同仁,黄文社,等. 微分方程定性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1985.
[2] 刘一戎, 李继彬. 平面向量场的若干经典问题[M]. 北京: 科学出版社, 2010: 1-29.
[3] 刘一戎. 一类高次奇点与无穷远点的中心焦点理论[J]. 中国科学:A辑, 2001, 31(1): 37-48. DOI: 10.3321/j.issn:1006-9232.2001.01.006.
[4] 黄文韬, 古结平, 王勤龙. 三维微分系统的极限环与等时中心[J]. 广西师范大学学报(自然科学版), 2022, 40(5): 104-126. DOI: 10.16088/j.issn.1001-6600.2022020702.
[5] 黄文韬, 王勤龙, 杜超雄. 三维微分系统中心流形上的等时中心[J]. 数学学报(中文版), 2024, 67(5): 995-1008. DOI: 10.12386/B20210641.
[6] GUO L G, YU P, CHEN Y F. Twelve limit cycles in 3D quadratic vector fields with Z3 symmetry[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2018, 28(11): 1850139. DOI: 10.1142/s0218127418501390.
[7] HUANG W T, WANG Q L, CHEN A Y. Hopf bifurcation and the centers on center manifold for a class of three-dimensional Circuit system[J]. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2020, 43(4): 1988-2000. DOI: 10.1002/mma.6026.
[8] LU J P, WANG C Y, HUANG W T, et al. Local bifurcation and center problem for a more generalized Lorenz system[J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems, 2022, 21(4): 96. DOI: 10.1007/s12346-022-00629-3.
[9] YU P, HAN M A. Ten limit cycles around a center-type singular point in a 3-d quadratic system with quadratic perturbation[J]. Applied Mathematics Letters, 2015, 44: 17-20. DOI: 10.1016/j.aml.2014.12.010.
[10] ROMANOVSKI V G, SHAFER D S. Centers and limit cycles in polynomial systems of ordinary differential equations[J]. Advanced Studies in Pure Mathematics, 2016, 68: 267-373. DOI: 10.2969/aspm/06810267.
[11] WANG Q L, LIU Y R, CHEN H B. Hopf bifurcation for a class of three-dimensional nonlinear dynamic systems[J]. Bulletin Des SciencesMathématiques, 2010, 134(7): 786-798. DOI: 10.1016/j.bulsci.2009.12.001.
[12] GARCÍA I A. Integrable zero-Hopf singularities and three-dimensionalcentres[J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 2018, 148(2): 327-340. DOI: 10.1017/s0308210517000026.
[13] ZENG B, YU P. Analysis of zero-Hopf bifurcation in tworössler systems using normal form theory[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2020, 30(16): 2030050. DOI: 10.1142/s0218127420300505.
[14] WANG Q L, HUANG W T, LIU Y R. Multiple limit cycles bifurcation from the degenerate singularity for a class of three-dimensional systems[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series, 2016, 32(1): 73-80. DOI: 10.1007/s10255-015-0510-4.
[15] PESSOA C, QUEIROZ L. Nilpotent centers from analytical systems on center manifolds[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2023, 525(1): 127120. DOI: 10.1016/j.jmaa.2023.127120.
[16] LLIBRE J, WU H. Hopf bifurcation for degenerate singular points of multiplicity 2n-1 in dimension 3[J]. Bulletin Des Sciences Mathématiques, 2008, 132(3): 218-231. DOI: 10.1016/j.bulsci.2007.01.003.
[17] GARCÍA I A. Small amplitude periodic orbits in three-dimensional quadratic vector fields witha zero-Hopf singularity[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations, 2024, 36(2): 1325-1346. DOI: 10.1007/s10884-022-10208-4.
[18] CARR J. Applications of centre manifold theory[M]. New York: Springer, 1981: 1-10.
[1] 刘桔坤, 黄文韬, 刘宏普. 一类三维三次系统极限环的新下界[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2022, 40(6): 109-115.
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[1] 刘晓娟, 林璐, 胡郁葱, 潘雷. 站点周边用地类型对地铁乘车满意度影响研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2025, 43(6): 1 -12 .
[2] 韩华彬, 高丙朋, 蔡鑫, 孙凯. 基于HO-CNN-BiLSTM-Transformer模型的风机叶片结冰故障诊断[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2025, 43(6): 13 -28 .
[3] 陈建国, 梁恩华, 宋学伟, 覃章荣. 基于OCT图像三维重建的人眼房水动力学LBM模拟[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2025, 43(6): 29 -41 .
[4] 李好, 何冰. 凹槽结构表面液滴弹跳行为研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2025, 43(6): 42 -53 .
[5] 田晟, 赵凯龙, 苗佳霖. 基于改进YOLO11n模型的自动驾驶道路交通检测算法研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2026, 44(1): 1 -9 .
[6] 黄艳国, 肖洁, 吴水清. 基于D2STGNN的双向高效多尺度交通流预测[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2026, 44(1): 10 -22 .
[7] 刘志豪, 李自立, 苏珉. 智能通信与无人机结合的YOLOv8电动车骑行者头盔佩戴检测方法[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2026, 44(1): 23 -32 .
[8] 张竹露, 李华强, 刘洋, 许立雄. 基于Bi-LSTM特征融合和FT-FSL的非侵入式负荷辨识[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2026, 44(1): 33 -44 .
[9] 王涛, 黎远松, 石睿, 陈慧宁, 侯宪庆. MGDE-UNet:轻量化光伏电池缺陷分割模型[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2026, 44(1): 45 -55 .
[10] 黄文杰, 罗维平, 陈镇南, 彭志祥, 丁梓豪. 基于YOLO11的轻量化PCB缺陷检测算法研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2026, 44(1): 56 -67 .
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