广西师范大学学报（自然科学版） ›› 2026, Vol. 44 ›› Issue (3): 121-127.doi: 10.16088/j.issn.1001-6600.2025072302

• 数学 • 上一篇    下一篇

有限图上非负预定函数Toda系统的Brouwer度

张莲, 蒋作海*   

  1. 广西师范大学 数学与统计学院, 广西 桂林 541006
  • 收稿日期:2025-07-23 修回日期:2025-09-03 出版日期:2026-05-05 发布日期:2026-05-13
  • 通讯作者: 蒋作海(1986—), 男, 广西桂林人, 广西师范大学副教授, 博士。E-mail: jiangzuohai08@163.com
  • 基金资助:
    国家自然科学基金(12561009);广西自然科学基金(2022GXNSFBA035465); 广西科技计划项目(桂科AD22035202)

Brouwer Degree for Toda System with Nonnegative Prescribed Functions on a Finite Graph

ZHANG Lian, JIANG Zuohai*   

  1. School of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin Guangxi 541006, China
  • Received:2025-07-23 Revised:2025-09-03 Online:2026-05-05 Published:2026-05-13

PDF (PC)

4

摘要： 本文利用度理论研究连通有限图上的Toda系统, 证明具有非负预定函数Toda系统的所有解都一致有界, 由此得到该Toda系统的Brouwer度是良定义的。根据同伦不变性证明非负预定函数Toda系统的Brouwer度等于1,作为推论,导出非负预定函数的Toda系统可解。

关键词: 有限图, Toda系统, 非负预定函数, Brouwer度, 可解性

Abstract: This paper investigates the Toda system on connected finite graphs using degree theory. It is proven that all solutions of the Toda system with nonnegative prescribed functions are uniformly bounded, which implies that the Brouwer degree of such a Toda system is well-defined. By the homotopy invariance, the Brouwer degree of the Toda system with nonnegative prescribed functions is shown to be equal to 1. As a corollary, this suggests that the Toda system with nonnegative prescribed functions is solvable.

Key words: finite graphs, Toda system, nonnegative prescribed functions, Brouwer degree, solvability

中图分类号:  O175.25

[1] BATTAGLIA L, JEVNIKAR A, MALCHIODI A, et al. A general existence result for the Toda system on compact surfaces[J]. Advances in Mathematics, 2015, 285: 937-979. DOI: 10.1016/j.aim.2015.07.036.
[2] CHERN S S, WOLFSON J G. Harmonic maps of the two-sphere into a complex Grassmann manifold II[J]. Annals of Mathematics, 1987, 125(2): 301-335. DOI: 10.2307/1971312.
[3] BOLTON J, WOODWARD L M. Some geometrical aspects of the 2-dimensional Toda equations[M].Geometry, Topology and Physics. New York: DE GRUYTER, 1997: 69-82. DOI: 10.1515/9783110805055.69.
[4] TARANTELLO G. Selfdualgauge field vortices: an analytical approach[M]. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2008. DOI: 10.1007/978-0-8176-4608-0.
[5] RAZUMOV A V, SAVELIEV M V. Liealgebras, geometry, and Toda-type systems[M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1997.
[6] JOST J, WANG G F. Analytic aspects of the Toda system: I. A Moser-Trudinger inequality[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2001, 54(11): 1289-1319. DOI: 10.1002/cpa.10004.
[7] 王晓丹. Toda方程的非零边界问题[D]. 郑州: 郑州大学, 2017.
[8] LEE Y, LIN C S, WEI J C, et al. Degree counting and Shadow system for Toda system of rank two:one bubbling[J]. Journal of Differential Equations, 2018, 264(7): 4343-4401. DOI: 10.1016/j.jde.2017.12.018.
[9] LEE Y, LIN C S, YAN S S. Degree counting formula for non-symmetric Toda systems of rank two[J]. Journal of Functional Analysis, 2022, 283(10): 109642. DOI: 10.1016/j.jfa.2022.109642.
[10] 陈志杰. 平坦环面上带奇异点的SU(3) Toda方程组[J]. 中国科学: 数学, 2023, 53(8): 1067-1084.
[11] KARMAKAR D, LIN C S, NIE Z H, et al. Total masses of solutions to general Toda systems with singular sources[J]. Advances in Mathematics, 2024, 447: 109702. DOI: 10.1016/j.aim.2024.109702.
[12] 牟景宇. 黎曼曲面上SU(n+1)Toda系统的有限能量解的分类与构造[D]. 合肥: 中国科学技术大学, 2024. DOI: 10.27517/d.cnki.gzkju.2024.000595.
[13] CHEN Z J, LIN C S. Sharp existence, symmetry and asymptotics results for the singular SU(3) Toda system with critical parameters[J]. Journal of Differential Geometry, 2024, 127(3): 899-943. DOI: 10.4310/jdg/1721071493.
[14] JOST J, WANG G F. Classification of solutions of a Toda system in ℝ2[J]. International Mathematics Research Notices, 2018, 2002(6): 277-290.
[15] LIN C S, WEI J C, YE D. Classification and nondegeneracy of SU(n+1) Toda system with singular sources[J]. Inventiones Mathematicae, 2012, 190(1): 169-207. DOI: 10.1007/s00222-012-0378-3.
[16] NIE Z H. Classification of solutions to Toda systems of types C and B with singular sources[J]. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 2016, 55(3): 53. DOI: 10.1007/s00526-016-0998-3.
[17] KAZDAN J L, WARNER F W. Curvature functions for compact 2-manifolds[J]. Annals of Mathematics, 1974, 99(1): 14-47. DOI: 10.2307/1971012.
[18] KAZDAN J L, WARNER F W. Curvature functions for open 2-manifolds[J]. Annals of Mathematics, 1974, 99(2): 203-219. DOI: 10.2307/1970898.
[19] 汪悦, 张希. 非紧Riemman流形上的一类Kazdan-Warner型方程[J]. 中国科学A辑: 数学, 2008, 38(3): 271-278.
[20] 邓义华. 非紧Riemann流形上一类Kazdan-Warner型方程光滑解的存在唯一性[J]. 中山大学学报(自然科学版), 2010, 49(6): 26-30.
[21] GRIGOR'YAN A, LIN Y, YANG Y Y. Kazdan-Warner equation on graph[J]. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 2016, 55(4): 92. DOI: 10.1007/s00526-016-1042-3.
[22] SUN L L, WANG L Q. Brouwer degree for Kazdan-Warner equations on a connected finite graph[J]. Advances in Mathematics, 2022, 404: 108422. DOI: 10.1016/j.aim.2022.108422.
[23] 伍卓群, 尹景学, 王春朋. 椭圆与抛物型方程引论[M]. 北京: 科学出版社, 2003.
[24] SUN L L. Sinh-Gordon equations on finite graphs[J]. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 2025, 64(7): 231. DOI: 10.1007/s00526-025-03110-6.
[1] 罗茜, 许勇强. 含参数分数阶微分方程边值问题正解的存在性[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2024, 42(6): 177-185.
[2] 姜影星, 黄文念. 非线性薛定谔-麦克斯韦方程的基态解[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(4): 59-66.
Viewed
Full text


Abstract

Cited
  Shared   
  Discussed   
[1] 孟春梅, 陆世银, 梁永红, 莫肖敏, 李卫东, 黄远洁, 成晓静, 苏志恒, 郑华. 岩黄连总碱诱导肝星状细胞凋亡和自噬的电镜实验研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 76 -79 .
[2] 李钰慧, 陈泽柠, 黄中豪, 周岐海. 广西弄岗熊猴的雨季活动时间分配[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 80 -86 .
[3] 覃盈盈, 漆光超, 梁士楚. 凤眼莲组织浸提液对靖西海菜花种子萌发的影响[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 87 -92 .
[4] 庄枫红, 马姜明, 张雅君, 苏静, 于方明. 中华水韭对不同光照条件的生理生态响应[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 93 -100 .
[5] 韦宏金, 周喜乐, 金冬梅, 严岳鸿. 湖南蕨类植物增补[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 101 -106 .
[6] 包金萍, 郑连斌, 宇克莉, 宋雪, 田金源, 董文静. 大凉山彝族成人皮褶厚度特征[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 107 -112 .
[7] 林永生, 裴建国, 邹胜章, 杜毓超, 卢丽. 清江下游红层岩溶及其水化学特征[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 113 -120 .
[8] 张茹, 张蓓, 任鸿瑞. 山西轩岗矿区耕地流失时空特征及其影响因子研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 121 -132 .
[9] 李贤江, 石淑芹, 蔡为民, 曹玉青. 基于CA-Markov模型的天津滨海新区土地利用变化模拟[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 133 -143 .
[10] 王梦飞, 黄松. 广西西江经济带的城市旅游经济空间关联研究[J]. 广西师范大学学报（自然科学版）, 2018, 36(3): 144 -150 .
版权所有 © 广西师范大学学报（自然科学版）编辑部
地址：广西桂林市三里店育才路15号　邮编：541004
电话：0773-5857325　E-mail: gxsdzkb@mailbox.gxnu.edu.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发